lêi gi¶i mét sè bµi to¸n vÒ rót gän biÓu thøc
D¹ng 1
Bµi 1 Cho biÓu thøc

a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, Rót gän A
b)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x=3-2

Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x
1.
Rót gän



b. Khi x= 3-2
=





Bµi 2: Cho biÓu thøc

a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, rót gän biÓu thøc A
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña xth× A >

c) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt

Bµi gi¶i:
a) §KX§ x


.
=
.

A =

b) A >


( v× 3(


KÕt qu¶ hîp víi §KX§:
th× A > 1/3.
c)
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Mµ
lóc ®ã AMax=

Bµi 3: Cho biÓu thøc

a) Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P =

c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M


Bµi gi¶i:
a) §KX§ x

P =
=

b)


(TM§K)
c)
=
ta cã




VËy Mmin= 4
.
Bµi 4: Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§ ,rót gän biÓu thøc
b) T×m x ®Ó D < -

c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D

D¹ng 2
Bµi 1 :Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§, rót gän P
b) T×m a
®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi gi¶i:
a) §KX§: a



b)

®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th×
nhËn gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng.
thuéc ­íc d­¬ng cña 2.

a=1 (Lo¹i v× kh«ng tho¶ m·i ®iÒu kiÖn)
VËy P nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi a = 0
Bµi 2: Cho biÓu thøc

a) T×m x ®Ó B cã nghÜa vµ rót gän B.
b) T×m x nguyªn ®Ó B nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi gi¶i:
a) §KX§

B =

b) B nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.


¦(1)

tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
VËy x= -1; x= -3 th× B nhËn gi¸ trÞ nguyªn
Bµi 3: Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§ , rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
c) T×m x ®Ó biÓu thøc
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
D¹ng 3
Bµi 1: Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m x ®Ó P > 0

Bµi gi¶i
a) §KX§ x>0; x



b) P > 0
( v×


KÕt hîp víi §KX§:
th× P > 0


Bµi 2: Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§, rót gäp P
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P > 0
Bµi 3 : Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§, rót gän P
b) T×m x ®Ó P <

Bµi 4: Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§, rót gän P.
b) T×m x ®Ó P <

Bµi 5: Cho biÓu thøc:

a)T×m §KX§, rót gän B
b)T×m a ®Ó B < 7- 4

Bµi 6: Cho biÓu thøc:

a) Rót gän biÓu thøc K
b) T×m gi¸ trÞ cña K khi a = 3+2

c) T×m gi¸ trÞ cña a sao cho K < 0



D¹ng 4
Bµi 1 : Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§ vµ rót gän A
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho A < 0
c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh A.
cã nghiÖm.

Bµi gi¶i
a) §KX§: x > 0; x



b) A < 0
(v×
)
kÕt hîp víi §KX§ 0 c) P.t: A.



§Æt
>0 ta cã ph­¬ng tr×nh
®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh (*) ph¶i cã nghiÖm d­¬ng.
§Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm d­¬ng th×:


VËy m>-1 vµ m
th× pt A
cã nghiÖm.
Bµi 2: Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña P khi x = 25
c) T×m x ®Ó P.


Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x




b) Khi x= 25

c)



TM§K
VËy x = 2005 th× P.

D¹ng 5
Bµi 1: Cho biÓu thøc

a) T×m §KX§, vµ rót gän A.
b)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x=
.
c)T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó


Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x
.

=

b) Khi x =

c)




VËy x > 9 th×

Bµi 2: Cho biÓu thøc:

a) T×m §KX§, rót gän biÓu thøc A
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th×

Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x
.


b) Khi x=36

c)
(v×
)

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh 0 < x <1 th×









Chuyªn ®Ò tam thøc bËc hai
A.lý thuyÕt
I. ¸p dông c«ng thøc nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm thu gän ®Ó xÐt sè nghiªm ph­¬ng tr×nh bËc hai.
Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax
+bx+c=0(a
0)

.NÕu b =2b
th×
= b

- ac
1. Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi .
Ta cã thÓ xÐt hai tr­êng hîp:
+Tr­êng hîp 1:
NÕu a = 0,ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=
.
+Tr­êng hîp 2 :



hoÆc

2.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi .


hoÆc


3.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.

hoÆc

4. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.

hoÆc

VÝ dô1:
Cho ph­¬ng tr×nh 2x
-(4m+3)x+2m
-1=0.Víi m lµ tham sè,t×m gi¸ trÞ m ®Ó ph­¬ng tr×nh.
a.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
b.Ph­¬ng tr×nh cã2nghiÖm ph©n biÖt
c.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
d. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
Gi¶i:

=(4m+3)
-4.2(2m
-1)=24m+17.

a.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi .






m


b.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi.




c.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.




d. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.



VÝ du 2 :
Cho ph­¬ng tr×nh mx
-2(m-1)x+(m-4)=0 .Víi m lµ tham sè,t×m gi¸ trÞ m ®Ó ph­¬ng tr×nh.
a.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
b.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
c.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
d. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
Gi¶i:
Ta cã :a
0
m
,
= b
-ac=
-m(m-4)=m
-2m+1-m
+4m=2m+1
a.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi .
+Tr­êng hîp 1:
NÕu a=0
m=0 ,ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=

=2.
+Tr­êng hîp 2 :








b.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi.





c.Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.




d. Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.





II . HÖ thøc vi- Ðt vµ øng dông.
1. HÖ thøc vi- Ðt
NÕu x
,x
lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ax
+bx+c=0(a
0) th× x
+ x
=
vµ x
.x
=

VÝ dô . TÝnh nhÊm nghiªm cña ph­¬ng tr×nh x
-7x+12=0
Gi¶i.
Ta cã
=(-7)
-4.12=49-48=1>0
Theo ®Þnh lý Vi-Ðt x
+ x
=
=7, x
.x
=
=12
x
=3; x
=4
2.¸p dông ®Ó tÝnh nhÊm nghiÖm .
Cho ph­¬ng tr×nh ax
+bx+c=0(a
0)
-NÕu a+b+c=0 th× x
=1vµ x
=

VÝ dô :
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 3x
-7x+4=0
Gi¶i. Ta cã a+b+c=3+(-7)+4=0

x
=1vµ x
=
=

-NÕu a-b+c=0 th× x
=-1vµ x
=

VÝ dô :
Gi¶i ph­¬ng tr×nh 7x
-5x-12=0
Gi¶i.
Ta cã a-b+c=7-(-5)+(-12)=0

x
=-1vµ x
=
=


3.¸p dông ®Ó x¸c ®Þnh dÊu c¸c nghiÖm
Cho ph­¬ng tr×nh ax
+bx+c=0(a
0)
có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2




(
Điều kiện chung

trái dấu





P < 0
( ( 0
( ( 0 ; P < 0.

cùng dấu,





P > 0
( ( 0
( ( 0 ; P > 0

cùng dương,
+
+
S > 0
P > 0
( ( 0
( ( 0 ; P > 0 ; S > 0

cùng âm




S < 0
P > 0
( ( 0
( ( 0 ; P > 0 ; S < 0.


VÝ dô :
Cho ph­¬ng tr×nh x
+(2m+2)x+m
-4=0
Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
Cã hai nghiÖm cïng dÊu
Cã hai nghiÖm d­¬ng
Cã hai nghiÖm ©m
Gi¶i :

= b
- 4ac = (2m+2)
- 4(m
-4) = 4m
+ 8m + 4 - 4m
-16 = 8m -12
* Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
x
.x
=
= m
- 4 = (m+1)(m-1)<0
-Tr­êng hîp 1. -1< m <1
-Tr­êng hîp 2. m <-1 vµ 1 < m
*Cã hai nghiÖm cïng dÊu







m>2
*Cã hai nghiÖm d­¬ng






m>2
*Cã hai nghiÖm ©m khi






m>2

4.¸p dông ®Ó x¸c ®Þnh hai sè biÕt tæng S vµ P cña chñng
-NÕu hai sè x
,x
sao cho x
+x
=S, x
.x
=P th× x
,x
lµ nghiÖm ph­¬ng tr×nh
x
-Sx+P=0
VÝ dô:
T×m hai sè, biÕt tæng cña chñng lµ 15 vµ tÝch cña chñng lµ 54.
Gi¶i :
NÕu hai sè ph¶i t×m lµ x
,x
sao cho x
+x
=S =15, x
.x
=P=54 th× x
,x
lµ nghiÖm ph­¬ng tr×nh
x
-15x+54=0

=(-15)
-4.54=225-216=9;
=3

x
=
; x
=

VËy hai sè cÇn t×m lµ 9 vµ 6.
b.Bµi tËp
Bµi tËp 1.
Cho ph­¬ng tr×nh (m-4)x
-2mx+m-2=0,trong ®ã m lµ tham sè
a.Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m=3.
b.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=
.
c.T×m m ®Ó
-ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
-ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Gi¶i :
a.víi m=3 ta cã -x
-6x+1=0

=(-3)
+1=10;
=

-ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt

x
=-3-
; x
=-3+

b. Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x=
,thay vµo ph­¬ng tr×nh ta cã
(m-4)2-2
m+m-2=0
m=10(3+2
)
c.-Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi





Ta cã x
= x
=
=

-Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt




C«ng thøc tÝnh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x
=
; x
=

Bµi tËp 2.
Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh
a.2x
- (2-k)x=k(k-2).
b.(2k-1)
x
-4kx+1=0.
Gi¶i :
a.Ph­¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt 2x
-(2-k)x-k(k-2)=0

=(2-k)
+8k(k+2)=4-4k+k
+8k
+16k=9k
+12k+4=(3k+2)

víi mäi k.
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã nghiÖm víi mäi k .
b.- NÕu 2k-1=0 hay k=
th× -4kx+1=-2x+1=0,ta cã nghiÖm x=
.
- NÕu 2k-1
0 hay k

th× ta t×m ®­îc
=(-2k)
-(2k-1)
=4k
-4k
+4k-1=4k-1
0
Tøc lµ k

,ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
VËy víi k >
vµ k

ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
x
=
;x
=

Víi k =
ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp x
= x
=-
=

Víi k <
th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
Bµi tËp 3.
Cho ph­¬ng tr×nh x+7x-5=0.Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh .
a.Tæng vµ tÝch cña hai nghiÖm
b.Tæng c¸c nghÞch ®¶o cña hai nghiÖm
c.Tæng c¸c b×nh ph­¬ng cña hai nghiÖm
d.B×nh ph­¬ng cña hiÖu hai nghiÖm
e.Tæng c¸c lËp ph­¬ng cña hai nghiÖm
Gi¶i :
Ta thÊy r»ng ph­¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã nghiÖm v× c¸c hÖ sè avµ c kh¸c dÊu.
a.Tæng cña hai nghiÖm lµ S=x
+x
=-7 vµ tÝch cña hai nghiÖm lµ P= x
.x
=-5.
b. Tæng c¸c nghÞch ®¶o cña hai nghiÖm lµ

c.Tæng c¸c b×nh ph­¬ng cña hai nghiÖm

d.B×nh ph­¬ng cña hiÖu hai nghiÖm lµ
59+10=69.

e.Tæng c¸c lËp ph­¬ng cña hai nghiÖm lµ

Bµi tËp 4.
Cho ph­¬ng tr×nh 2x
+(2p-1)x+p-1=0
a.T×m p ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
b.T×m p ®Ó c¶ hai nghiÖm ®Òu d­¬ng.
c.T×m mét hÖ thøc kh«ng phô thuéc vµo p.
Gi¶i :
a.Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi
=(2p-1)
- 4.2(p-1)=(2p-3)
> 0
p

b.Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®Òu d­¬ng ta gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh


HÖ ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm ,kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña p ®Ó c¶ hai nghiÖm ®Òu d­¬ng.
c. Do S=
vµ P=
=
nªn ta cã :S+2P=
+

VËy hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo p lµ

Bµi tËp 5.
Cho ph­¬ng tr×nh x
- mx + m-1=0 víi m lµ tham sè .
a.Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
b.Gäi x
,x
lµ c¸c nghiÖm .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A=
.
Gi¶i .
a.Ta cã
,vËy ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m .
b. A=
=
+2x
x
-2x
x
=(x
+x
)
- 2x
x
= m
-2(m-1)= m
-2m+2=

m
-2m+1+1=(m-1)
+1
1
m
A nhá nhÊt b»ng 1 khi (m-1)
=0
m=1
Bµi tËp 6.
Cho ph­¬ng tr×nh x
- 2x + m =0 víi m lµ tham sè .
a.T×m m sao cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x
,x
®Òu lµ sè d­¬ng.
b. T×m m sao cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x
,x
tháa m·n :


Gi¶i:
a.§iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d­¬ng lµ :




b.§iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
=1-m > 0
m<1(1)
Khi ®ã S=x
+x
=2 vµ P= x
.x
= m nªn :




§iÒu kiÖn m
(2)
Ta cã 3(4-2m)=-10m
4m=-12
m=-3 tháa m·n (1),(2).
Bµi tËp 7.
Cho ph­¬ng tr×nh x
+ 2(m+1)x + m
=0 ,víi m lµ tham sè .
a.Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m=2 .
b.T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
c.T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ trong ®ã cã mét nghiÖm b»ng (-2).